一、 案例背景
通過設(shè)計(jì)“嘉興南湖湖面有多大”、“某一時(shí)間段內(nèi)高鐵行經(jīng)的路程如何求”兩個(gè)紅色主題案例吸引學(xué)生的興趣，讓學(xué)生關(guān)注身旁的紅色元素和新時(shí)代的科技進(jìn)步，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷和民族自豪感。
1.作為嘉興的在校大學(xué)生，肯定知道南湖，甚至不止一次去過南湖。嘉興南湖是中國共產(chǎn)黨的誕生地，是紅船精神的發(fā)源地。自然地，學(xué)生會(huì)問南湖有多大？南湖湖面并不是一個(gè)規(guī)則圖形，其邊界又不是直線，但通過分割，可以將其分解成若干矩形和曲邊梯形（梯形中的斜邊換成曲線）。所以，只要求出曲邊梯形的面積就可以計(jì)算出南湖的具體面積。
2.現(xiàn)在高鐵出行習(xí)以為常。我國的高鐵已處于世界領(lǐng)先水平，運(yùn)營里程突破4萬公里，穩(wěn)居世界第一。坐高鐵時(shí)經(jīng)常會(huì)看到車廂里顯示的車速不規(guī)律地變來變?nèi)?。想知道某時(shí)間段內(nèi)經(jīng)過的路程該怎么求呢？即，如何求一段時(shí)間內(nèi)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程。
二、主要做法
通過整體教學(xué)設(shè)計(jì)、本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)、三維教學(xué)目標(biāo)、問題引入、問題求解、問題提煉、形成概念，開展課堂教學(xué)，講解定積分的概念，感悟思政元素、感受科學(xué)精神。
1. 教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（1）通過播放南湖的圖片和小視頻，讓學(xué)生看到南湖的全貌。問學(xué)生覺得南湖大不大，引導(dǎo)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。
（2）通過分析，將南湖的面積歸結(jié)為求曲邊梯形的面積，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力。在求解曲邊梯形面積的過程中，培養(yǎng)學(xué)生“化整為零”、“以直代曲”、“積零成整”等數(shù)學(xué)思維，并介紹劉徽的“割圓法”，增強(qiáng)學(xué)生的文化自信。
（3）問學(xué)生是否有坐高鐵看到車內(nèi)顯示速度的經(jīng)歷，并播放相關(guān)視頻，提升課堂樂趣，并介紹我國高鐵發(fā)展情況，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。拋出路程問題，引發(fā)學(xué)生思考，并提示解決問題。
（4）提煉兩個(gè)案例的共同點(diǎn)，得出定積分的概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)歸納能力。
（5）總結(jié)本課所學(xué)的數(shù)學(xué)方法及課程思政感悟：分割近似再求和，所得結(jié)果欠精確。堅(jiān)定理想取極限，積微成著把夢圓。
2. 知識(shí)點(diǎn)及教學(xué)目標(biāo)
（1）知識(shí)點(diǎn)
定積分概念提出的背景、方法及其應(yīng)用。
（2）三維教學(xué)目標(biāo)
? 知識(shí)與技能：了解定積分概念提出的幾何背景和物理背景，體會(huì)“化整為零”、“以直代曲”（以常代變）、“無限逼近”的數(shù)學(xué)思想。
? 過程與方法：通過學(xué)生熟悉的案例，引出曲邊圖形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題，讓學(xué)生了解定積分概念的來源和現(xiàn)實(shí)中的簡單應(yīng)用。
? 情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過南湖面積和高鐵路程問題的引入，學(xué)生能夠聯(lián)想到南湖是中國革命紅船起航地，高鐵是我們的國之重器，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷和民族自豪感。
3. 問題引入
（1）如何求曲邊梯形的面積？
“化繁為簡，化未知為已知”是最主要的數(shù)學(xué)思想。如果將曲線變成直線就好了。直接“以直代曲”顯然誤差很大，即曲線越小替換成直線就越精確。因此，通過分割，把曲邊梯形分成許多小曲邊梯形，并用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。當(dāng)分割越細(xì)，所得的近似值越接近準(zhǔn)確值，正如我國魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家劉徽說得那樣“割之彌細(xì)，所失彌少”。故，當(dāng)每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于0時(shí)就得到其準(zhǔn)確值。最后通過求小矩形面積之和的極限，得到曲邊梯形得面積。
（2）如何求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程？
類似上例，將整個(gè)時(shí)間段分成若干小時(shí)間段，每段時(shí)間內(nèi)近似看成勻速直線運(yùn)動(dòng)，將這些小時(shí)間段加起來，并讓每個(gè)時(shí)間間隔都趨于0，就得到所經(jīng)過的路程。
4. 問題求解
（1）設(shè)曲邊梯形是由曲線
,以及
軸所圍成的，求其面積，這里不妨假設(shè)
第一步：分割。把區(qū)間
分成
份；第
份的長度記為
，也就是把曲邊梯形分成了
個(gè)很小的曲邊梯形。
第二步：近似。把個(gè)小曲邊梯形近似看成一個(gè)小矩形，第
個(gè)小曲邊梯形的面積
就近似的表示成一個(gè)小矩形的面積，不失一般性，小矩形的長取
和
之間的任意一點(diǎn)
對應(yīng)的函數(shù)值
來表示，于是
。
第三步：求和。整個(gè)曲邊梯形的面積就是這
個(gè)小曲邊梯形的面積之和，故
。
第四步：取極限。 要取到精確值，必須讓每一小塊非常接近矩形，也就是每個(gè)
都要趨于
。為此，只需這
個(gè)
中最大趨于
，記
，于是就得到了原曲邊梯形的面積精確值，即
。
（2）設(shè)
到
時(shí)刻內(nèi)的速度為
，求這段時(shí)間經(jīng)過的路程
。
第一步：分割。把區(qū)間
分成
份；第
份的時(shí)長為
。
第二步：近似。把個(gè)小時(shí)段近似看成勻速直線運(yùn)動(dòng)，第
個(gè)時(shí)段經(jīng)過的路程
，其中
。
第三步：求和。 整段時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程近似為
。
第四步：取極限。記
，故
。
5. 問題提煉
上述兩例，分別是幾何問題和物理問題。雖然它們各屬不同學(xué)科，但解決問題的思想和方法是一樣的，把整體問題通過“化整為零”、“以直代曲”（或“以常代變”），再“積零為整”。即分割，近似，求和，取極限。拋開這些問題的具體背景，將此類問題的共性提煉出來，定義了求一種特定和式極限的重要數(shù)學(xué)工具──定積分。
定義：設(shè)函數(shù)
在區(qū)間
上連續(xù)，在
內(nèi)任意插入
個(gè)分點(diǎn)
，把區(qū)間分成
個(gè)小區(qū)間
，且每個(gè)小區(qū)間的長為
，其中
。在每個(gè)小區(qū)間
上任取一點(diǎn)
，作和式
，若不論對
怎樣分法，也不論
如何取法，只要當(dāng)
時(shí)，上述和式的極限總趨于一個(gè)確定的值
,即
，則稱
在區(qū)間
上可積，并將這個(gè)極限值
稱為函數(shù)
在區(qū)間
上的定積分，記作
。
三、主要成效
通過對曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動(dòng)路程問題的介紹，理解了定積分的概念，體會(huì)了數(shù)學(xué)思維方法在解決現(xiàn)實(shí)問題的應(yīng)用，了解了中國古代數(shù)學(xué)的杰出貢獻(xiàn)，領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)發(fā)展過程中蘊(yùn)含的處世哲理，激發(fā)了勇于擔(dān)當(dāng)?shù)臅r(shí)代責(zé)任感。
四、反思探討
今天所介紹的兩個(gè)案例，通過化整為零，先得到近似值，然后逐步逼近，最終求得精確值。生活中，我們要學(xué)會(huì)“化整為零”，將遇到的大困難分解成一些小困難，個(gè)個(gè)擊破。雖然不能直接到達(dá)目的地，但積微成著，逐步接近夢想，才能最終達(dá)到理想的彼岸。
經(jīng)過眾多科學(xué)家的不懈努力，中國高鐵等高科技已經(jīng)世界領(lǐng)先。作為新時(shí)代的大學(xué)生，要努力增強(qiáng)自身建設(shè)中國式現(xiàn)代化強(qiáng)國的科學(xué)素養(yǎng)和專業(yè)本領(lǐng)，勇?lián)鷷r(shí)代重托和復(fù)興重任。
五、相關(guān)思政元素
堅(jiān)定理想、百折不撓、文化自信、民族自豪感、真知、強(qiáng)能
